博饼中的数学问题 - 知乎

　　博饼一直是闽南地区中秋节必备的娱乐活动，公司的同事，家中的亲人，无论男女老少无不乐衷于此。“叮叮叮”！骰子与瓷碗的碰撞声几乎可以在中秋前后“响彻”大街小巷。

　　今天参加了公司的博饼，博饼过程中我发现，每桌到最终往往总是为最后的四进奖品拼搏，那么是不是其实四进才是最难博到的，或者说，四进才是概率最低的情况呢？

　　就着求知欲，今天就来和大家算算博饼中的概率！

　　博饼就是6个骰子的排列组合情况，如果把6个骰子分开看待，那么应该总共有=46656种结果。搞清楚这点之后，我们来算算各种中奖概率。

　　六红（六个4）：只有一种情况，必须全部都是4，所以是1/46656≈0.002%。理论上博到六红的人可以把全桌奖品都拿走，但是一般不会这么做，因为这样明年就没人和他玩了，所以大部分人就是把一秀到状元的奖品每种挑一个走。

　　状元插金花（四个4和两个1）：两个1在6个骰子中进行选择，所以有=15种结果，所以概率应该是15/46656≈0.032%。状元插金花是可以把两个对堂一起带走的噢，别连能拿什么都不清楚了！

　　六子（除了六个4之外的其他相同的六个数字）：六子本身是“普通化”的六红，本质就是六红的5倍，所以概率为5×1/46656=5/46656≈0.01%，一般很多人会认为博到六个黑色相同的数字是运气不好的表现，有信仰的人还说要去拜拜祈福才行，不过仁者见仁，我觉得能博到奖品就是旺了！

　　五红（五个4加任意一个非4数字）：首先选择非4数字有6个位置，其次非4数字有5种情况，所以有6×5/46656=5/7776≈0.0643%。

　　五子（五个相同数字加一个不相同数字）：五个相同数字有5种情况（排除4），不相同数字有6个位置选择，不相同的数字有剩下5种情况（其中1种是带一秀的4），所以概率为5×6×5/46656=25/7776≈0.3215%。其中不带一秀的概率是5×6×4/46656=5/1944≈0.2572%；带一秀的概率为5×6×1/46656=5/7776≈0.0643%。五子带一秀有点凶残，都状元了还要顺走一秀！

　　普通状元（四个4带其他任意数字）：主要讨论两个带的数字，两个数字如果相同，有4种可能（不能同时是1，否则为状元插金花），那么剩下只要选出两个数字的位置有=15种可能，即有4×15=60种；如果两个数字不同，那么有=10种可能，然后再安排这两个数字的位置是=30种可能，即为10×30=300种。所以是(60+300)/46656=5/648≈0.7716%.

　　综上，状元总概率为1/46656+15/46656+5/46656+30/46656+150/46656+360/46656=187/15552≈1.2%

　　对堂（1、2、3、4、5、6各一个）：数字结果确定，只需要排列6个数字，所以就=720种情况，所以概率为720/46656=5/324≈1.5432%；

　　三红（三个4加任意其他三个非4数字）：主要讨论三个非4数字，如果三个数字相同，有5种情况，安排位置有=20种，即5×20=100种情况；如果三个数字两个相同一个不同，则有5×4=20种数的组合，安排位置有×3=20×3=60种，即20×60=1200种情况；如果三个数字不相同，有=10种数字组合，安排位置为=120种，即10×120=1200种情况。所以概率为(100+1200+1200)/46656=625/11664≈5.35837%。

　　四进（四个相同非4数字加两个与前4个相同数字不同的数字）：四个相同数字有5种情况，接下来讨论所剩两个数字。如果两个数字相同有5种情况（其中有1种为带二举），再安排位置有=15种，即5×15=75种（有1×15=15种情况为带二举）；如果两个数字不同，则有=10种数字（其中有1×4=4种带一秀），安排位置为=30种，即10×30=300种情况（其中有4×30=120种带一秀情况）。所以概率为5×(75+300)/46656=625/15552≈4%，其中带二举概率为5×15/46656≈0.16%，带一秀概率为5×120/46656≈1.286%。

　　二举（两个4加四个非4数字）：先讨论四个非4数字，有5×5×5×5=625种情况，但是这样计算会出现四进，所以要扣除四进的5种情况，所以有625-5=620种，接下来安排位置有=15种，所以有620×15/46656=775/3888≈19.933%。

　　一秀（只出现一个4，其他全为非4数字）：讨论那五个非4数字，有5×5×5×5×5=3125种，接下来安排位置有6种情况（只需要安排那个红4）.但这样有可能出现五子、四进和对堂的情况，还需要扣除五子和四进，所以有3125×6-30-600-720=17400种，所以有17400/46656=725/1944≈37.294%。

　　所以根据刚才的讨论我们可以发现：

　　我们可以看到实际上即使把所有状元概率相加也是比任意非状元概率要低的。但是平时博饼往往最后剩下来的是四进奖品呢？那是因为每种奖项奖品数是不同的。我们可以看下表：

　　注：博出奖品平均次数=1/概率，博完奖品平均次数=博出奖品平均次数×奖品数

　　根据表格我们就可以看出，实际一般从数学角度，最快博完的是三红，最后博完的是四进。这个结论与我这个博饼老手经验不谋而合。不过，数学算的再溜，也比不上手气溜，大家博饼前还是多洗洗手！